Składanie funkcji
Definicja 1: Złożenie funkcji
Funkcję \( f \) nazywamy wówczas funkcją wewnętrzną, a funkcję \( g \) funkcja zewnętrzną.
Przykład 1:
Dane są funkcje:
\( f:\mathbb R\to\mathbb R,\quad f(x)=x+1, \)
\( g:\mathbb\to \mathbb R,\quad g(x)=3x^2+2x \)
Utworzymy złożenia \( g\circ f \), \( f\circ g \), \( f\circ f \)
Rozwiązanie
W naszym przykładzie wszystkie zbiory występujące w definicji złożenia są równe \( X=Y=Z=W=R \).
Obliczamy
\( (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=3(x+1)^2+2(x+1)=3x^2+8x+5, \)
\( (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(3x^2+2x)=3x^2+2x+1, \)
\( (f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x+1)=x+1+1=x+2. \)
Mamy, więc
\( g\circ f:\mathbb R\to\mathbb R,\quad (g\circ f)(x)=3x^2+8x+5, \)
\( f\circ g:\mathbb R\to\mathbb R,\quad (f\circ g)(x)=3x^2+2x+1, \)
\( f\circ f:\mathbb R\to\mathbb R,\quad (f\circ f)(x)=x+2. \)
Uwaga 1:
Uwaga 2: Warunek złożenia funkcji
Treść zadania:
Niech \( f(x)=\log x \), \( g(x)=3x+5 \). Utworzymy złożenie \( f\circ g \), podając ich wzory i dziedziny.
Treść zadania:
Niech \( f(x)=\log x \), \( g(x)=3x+5 \). Utworzymy złożenie \( g\circ f \), podając ich wzory i dziedziny.
Treść zadania:
Niech \( f(x)=\log x \), \( g(x)=3x+5 \). Utworzymy złożenie \( f\circ f \), podając ich wzory i dziedziny.
Twierdzenie 1: O monotoniczności złożeń
Złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.
Złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą.
Złożenie funkcji rosnącej i malejącej w dowolnej kolejności jest funkcją malejącą.
Przykład 2:
Zbadamy monotoniczność danej funkcji i określimy rodzaj jej monotoniczności.
Pokażemy, że funkcja \( f(x)=\left({1\over 3}\right)^{2(1-x)^5} \) jest funkcją rosnącą.
Rozwiązanie
Funkcję \( f \) potraktujemy jako funkcję złożoną z trzech funkcji
\( f=f_3\circ f_2\circ f_1 \). Kładziemy:
\( f_1(x)=1-x \),
\( f_2(x)=2x^5 \),
\( f_3(x)=\left({1\over 3}\right)^x. \)
Sprawdzimy, czy dobrze określiliśmy funkcje składowe.
\( (f_3\circ f_2\circ f_1)(x)=f_3(f_2(f_1(x)))=f_3(f_2(1-x))=f_3(2(1-x)^5)=\left({1\over 3}\right)^{2(1-x)^5}=f(x). \)
Z łatwością określamy monotoniczność funkcji składowych. Funkcja \( f_1 \) jest funkcją malejącą, \( f_2 \) jest funkcją rosnącą, zatem ich złożenie \( f_2\circ f_1 \) jest funkcją malejącą. Funkcja \( f_3 \) jest funkcją malejącą jako funkcja wykładnicza o podstawie z przedziału \( (0,1) \) więc jej złożenie z funkcją malejącą \( f_2\circ f_1 \) jest funkcją rosnącą. A to złożenie \( f_3\circ (f_2\circ f_1)=f_3\circ f_2\circ f_1 \) jest badaną funkcją \( f \).
Odpowiedź
Funkcja \( f \) jest rosnąca.